Dasar Utama: Kontinuitas Lipschitz
Untuk mengendalikan bagaimana kesalahan menyebar, kita membutuhkan fungsi $f(t, y)$ yang tidak "melompat" terlalu liar. Hal ini diformalisasikan oleh Kondisi Lipschitz.
Suatu fungsi $f(t, y)$ memenuhi kondisi Lipschitz dalam variabel $y$ pada himpunan $D \subset \mathbb{R}^2$ jika suatu konstanta $L > 0$ ada dengan:
$$|f(t, y_1) - f(t, y_2)| \le L|y_1 - y_2|$$
untuk semua $(t, y_1), (t, y_2) \in D$. Konstanta ini $L$ adalah "batas kecepatan" untuk perubahan vertikal fungsi tersebut.
Contoh 1: Analisis Konstanta Lipschitz
Pertimbangkan $f(t, y) = t|y|$ pada $D = \{(t, y) \mid 1 \le t \le 2, -3 \le y \le 4\}$. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata (atau sifat nilai absolut):
$|f(t, y_1) - f(t, y_2)| = |t|y_1| - t|y_2|| = |t| \cdot ||y_1| - |y_2|| \le |t| \cdot |y_1 - y_2|$.
Karena nilai maksimum $t$ di domain kita adalah 2, maka konstanta Lipschitznya adalah $L=2$.
Integritas Geometris Domain
Kita tidak dapat menyelesaikan IVP di domain yang penuh lubang. Kita membutuhkan Kekonveksan.
Suatu himpunan $D$ dikatakan konveks jika untuk dua titik sembarang $(t_1, y_1)$ dan $(t_2, y_2)$, segmen yang didefinisikan oleh:
$$((1 - \lambda)t_1 + \lambda t_2, (1 - \lambda)y_1 + \lambda y_2)$$
untuk $\lambda \in [0, 1]$ juga terkandung dalam $D$. Ini memastikan tidak ada bagian dari lintasan solusi "keluar" dari zona komputasi yang valid.
Teorema Kehadiran dan Kepemilikan Unik
Ketika kondisi-kondisi ini sesuai, kita menggali Teorema 5.4: Jika $f$ kontinu dan memenuhi kondisi Lipschitz pada himpunan konveks $D$, maka IVP $y' = f(t, y), y(a) = \alpha$ memiliki unik solusi $y(t)$. Ini menjelaskan metode se-sederhana Euler ($w_{i+1} = w_i + h f(t_i, w_i)$) atau se-sekompleks logika prediktor-korektor:
$WC = w_{i-1} + \frac{h}{24}[9f(t_i, WP) + 19f(t_{i-1}, w_{i-1}) - 5f(t_{i-2}, w_{i-2}) + f(t_{i-3}, w_{i-3})]$.